DEFINICIÓN

Se llama función exponencial de base a, a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax , siendo a un número positivo distinto de 1. Por lo tanto, en una función exponencial la variable independiente (abscisa) es el exponente de la función. Por su propia definición, el dominio de toda función exponencial es el conjunto de los números reales R. 
Función exponencial según el valor de la base.  
Si 0 < a < 1, entonces f(x) = ax es decreciente, puesto que la base es una fracción positiva o decimal menor que 1. Luego si el exponente aumenta, entonces el valor de ax disminuye.

Si a > 1 entonces f(x) = ax es creciente, puesto que la base es un número positivo mayor que 1. Luego, si el exponente aumenta, entonces el valor de ax también aumenta.  

La base no puede ser igual a 0 porque cualquier número exponencial de base cero es igual a 1, resultando la función y = 1x , la cual no tendría sentido, debido a que su valor es constantemente igual a 1, con lo que gráficamente es una función constante y = 1 (recta paralela al eje X en el punto y = 1).

La base no puede ser negativa porque el valor de la función será positivo si x es par y negativo si el exponente es impar. Además, si x es una fracción como ½, entonces la función no tiene imagen en los reales.   

Referencia bibliográfica
http://ww2.educarchile.cl/UserFiles/P0001/File/exponenciales_%20logaritmos.pdf